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国王揪毒酒——算法启发

 

         国王有一百桶酒,比自己的生命还重要。结果有一天其中一桶被投了慢性毒药,喝了以后半个小时就会死掉。国王大怒,命令玩忽职守的侍卫去试毒。酒不能被混合,一个侍卫可以喝多桶酒,一桶酒也可以由多个侍卫喝。

    请问:怎么样才能用最少的侍卫、在半小时内知道哪桶是毒酒

 

解法1:一维法

    最简单的方案,是让每个人试一桶酒,用时30分钟,就可以判断出哪一桶酒有毒。

         这个是一维的直线思维,在现实生活中也未尝不可,好过什么都不干。

         这样的解法,答案是:99个人



解法2:二维法

    从二维层面去思考,引入笛卡尔的坐标。

    把100桶酒摆成10️10的矩阵,如下:

        接下来:

    • 让阿拉伯数字编号的1号侍卫(如上图,黄色),把第1行酒每桶喝一口,一直到10号喝第10行;

    • 让汉字编号的一号侍卫,把第一列酒每桶喝一口,一直到十号喝第十列;

    • 由于坐标的定位功能,假如毒酒在图中绿色的位置,那么3号侍卫和二号侍卫都会死,自然可以锁定毒酒的位置。

        这样的解法,答案是:20个人



解法3:三维法

    能否再延伸至三维层面去思考呢?

    我们很容易想到,搭建一个5️5️4的三维模型,正好有100个位置放酒,如下:

        接下来(和二维解法差不多):

    • 让阿拉伯数字编号的1号侍卫(如上图,黄色),把黄色箭头这一面墙的酒每桶喝一口,一直到5号喝第5面墙;

    • 让汉字编号的一号侍卫(如上图,橙色),把橙色箭头这一面墙的酒每桶喝一口,一直到五号喝第五面墙;

    • 让字母编号的a号侍卫(如上图,蓝色),把蓝色箭头这一层的酒每桶喝一口,一直到d号喝第四层;

    • 同理,通过三个维度,也可以锁定毒酒的位置。

        这样的解法,答案是:14个人



        (稍微扯一下,最笨的方法1,会死一个侍卫;方法2会死两个,方法3会死三个,总之一个维度会死一个。所以题目中有含糊的地方,到底是用最少的侍卫,还是死最少的侍卫?考虑到国王的残酷,我们姑且认为是前者。)

        然而,即使聪明如你想明白了上面三个维度的解法,还是没有找到最优答案。



解法4:二进制

    如果用计算机的思维来分析这个问题,那么首先考虑如何存储这100桶酒。100桶酒可以用二进制7bit来表示(27次方>100)。

        上面的解法1到解法3,都是用100个位置存储100桶酒,只是描述位置的坐标,从一维到三维,效率越来越高,所以用的侍卫越来越少。

        如果用二进制呢?

        二进制,是逢二进一的计数编码方法,只有01两个数码。那到了2怎么办?只有往前进一位,变成10

        所以,十进制的2345,二进制分别表示为1011100101。二进制广泛应用于电子计算机的数据处理。

        二进制数字是信息的最小单位,又称为比特

        回到我们的题目,计算如下:

        第一步对于每一桶酒的二进制表示,编码后,最长的数字是7位数,不足七位前面用0表示

            1号桶是0000001

            2号桶是0000010

            3号桶是0000011

            4号桶是0000100

            ……

         100号桶是1100100

        第二步可以找七个侍卫,从左到右,编号,每人对应一个位数,从第一位到第七位。

        第三步负责第一位数的侍卫,只要这100桶酒中,二进制编码的该位数对应的数字是1,则喝掉此桶酒。

        如此类推,每个侍卫喝掉他所负责的位数上数字是1的酒。

        第四步30分钟后,侍卫按照,死掉的置为1,活着的置为0

        例如,假如第七桶酒为毒酒,其二进制编码是0000111。那么按照上面的喝酒规则,其五、六、七位都是“1”,所以编号五、六、七的侍卫都会死。

        二进制的01,正好对应了死和活。

        这样的解法,答案是:7个人